2. Las trocoides

Introducción. - 1. La cicloide. - 2.Las trocoides. - 3. La hipotrocoide. - 4. La epitrocoide.- 5. El espirógrafo. – 6. Galería de espirogramas. – Nota final

Las trocoides, cuyo nombre se deriva del sustantivo griego , ‘círculo, rueda’ junto con el sufijo , ‘semejante a’, se producen de una manera muy similar a la cicloide: un círculo, de radio b, se hace rodar, sin que se resbale, sobre una línea recta. Pero, a diferencia de la cicloide, el punto que se emplea para trazar la trocoide no está situado en el borde del círculo sino a una distancia c de su centro. Esto resulta fácil de entender mediante el siguiente programa de animación en donde el lector puede graduar a su gusto tanto el valor de la constante b como el de la constante c arrastrando con el ratón los pequeños cuadros de color naranja. Observe que si la trocoide tiene lazos y se interseca consigo misma, pero que esto no pasa si . Además advierta que la cicloide es un caso particular de trocoide, el que se produce cuando . Por último, observe que la trocoide se convierte en una línea horizontal cuando .

Programa 1: La trocoide es la curva que traza un punto situado a una distancia c del centro un círculo, con radio b, que rueda sin resbalarse sobre una recta.

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Ecuaciones paramétricas de la trocoide.

Para obtener las ecuaciones paramétricas de la trocoide se puede utilizar el mismo argumento que se utilizó cuando se establecieron las ecuaciones paramétricas de la cicloide. La trayectoria que sigue punto cualquiera de la trocoide es el resultado de sumar dos trayectorias:

El primer término de esta suma será como antes y corresponde al movimiento del centro del círculo con radio b que se mueve hacia la derecha a lo largo de la recta horizontal , comenzando en el punto para cuando . Por cada unidad de t, el punto se mueve , pues el círculo rueda sobre el eje x sin resbalarse. En la Figura 1 este movimiento aparece representado en verde.

Fig. 1. Parametrización de la trocoide.

Figura 1: Parametrización de la trocoide.

Por otro lado, el segundo término de la suma será . Aparece en azul en la Figura 1 y corresponde a la trayectoria que sigue un punto que se mueve en una circunferencia con centro en y radio c en el sentido de las manecillas del reloj empezando en el punto , para cuando . Al sumarse estas dos trayectorias, el resultado es que el punto va girando en el sentido de las manecillas del reloj, mientras el centro de la circunferencia se mueve horizontalmente en la recta horizontal y estos dos movimientos combinados van produciendo la trocoide. De esta manera, las ecuaciones paramétricas de la trocoide son:

En la gráfica siguiente (Figura 2) se han anotado algunos de los puntos por los que pasa la trocoide y junto a ellos, en rojo, el valor del parámetro t que les corresponde. En (a) aparece el caso en el que la trocoide tiene lazos y en (b) el caso en el que no.

Fig. 2a. Puntos en la trocoide.

(a)

Fig. 2b. Puntos en la trocoide.

(b)

Figura 2: Sobre la gráfica de la trocoide se muestran en rojo algunos valores
del parámetro t y en negro los puntos que les corresponden.

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