TEMAS DE CÁLCULO INTEGRAL

La gran belleza de las trocoides

Aquiles Páramo Fonseca
aparamo@uniandes.edu.co

Departamento de Matemáticas - Universidad de Los Andes - Bogotá - Colombia - Octubre del 2004

 Versión preliminar

 

Fig. 1. Hipotrocoide

Figura 1: Esta gráfica está basada en una hipotrocoide y fue realizada mediante el programa Espirógrafo que viene incluido al final de esta página.

 

 

Introducción

Dentro del cálculo integral el campo de las curvas paramétricas está lleno de objetos matemáticos fascinantes y las trocoides se destacan allí por su increíble belleza. A modo de invitación al tema se ha incluido a la izquierda una gráfica hecha a partir de un caso especial de trocoide que se conoce con el nombre de hipotrocoide. Fue dibujada con el programa Espirógrafo, desarrollado por el autor, que viene incluido al final de esta página. La belleza de esta figura proviene sin duda de su simetría muy particular que se expresa en el lenguaje matemático por las ecuaciones paramétricas siguientes:

Haga clic sobre las fórmulas de este documento para ampliarlas.

 

donde las constantes a, b y c tienen los valores:

 

En esta página el lector podrá aprender cómo se producen estas curvas maravillosas, cómo se expresan en el lenguaje matemático y cuáles son algunas de sus más notables propiedades. Las explicaciones que se dan vienen acompañadas de múltiples figuras y también de varios programas animados en donde el lector podrá explorar, haciendo fácilmente variaciones de los valores de las constantes, el universo casi inagotable de las trocoides. Los temas son los siguientes:

 

Introducción. - 1. La cicloide. - 2.Las trocoides. - 3. La hipotrocoide. - 4. La epitrocoide.- 5. El espirógrafo.  6. Galería de espirogramas.  Nota final

1. La cicloide

Conviene comenzar con el caso más sencillo que es el de la cicloide, cuyo nombre se deriva del sustantivo griego , ‘círculo’, junto con el sufijo , que quiere decir 'semejante a’. Imagine el lector que un círculo, de radio b, se hace rodar, sin que se resbale, sobre una línea recta y que en el borde del círculo hay un punto que se destaca. Pues bien, la cicloide es la curva que traza tal punto en el plano del movimiento del círculo. Esta definición puede parecer muy complicada, pero resulta fácil de entender mediante el siguiente programa de animación en el que el lector puede graduar a su gusto el valor de la constante b arrastrando con el ratón el pequeño cuadro naranja.

Para ver este programa de animación es necesario tener instalado el Plugin de Java. Consulte la Advertencia para instalarlo. Esto no le tomará más de 15 minutos.

 

Programa 1: La cicloide es la curva que traza un punto situado en el borde de un círculo que rueda sin resbalarse sobre una recta.

 

Ecuaciones paramétricas de la cicloide.

No es muy difícil obtener unas ecuaciones paramétricas que representen la cicloide. Para que las cosas resulten sencillas conviene considerar que el círculo rueda hacia la derecha sobre el eje x y que el punto que sirve para trazar la cicloide está situado inicialmente en el origen de las coordenadas, tal como sucede en el programa de animación anterior (Programa 1). En la figura de la derecha (Figura 2) se ha representado la situación que se produce un poco después de que el círculo ha empezado a rodar. Lo más natural es escoger como parámetro la medida t en radianes del ángulo , pues ésta corresponde al ángulo de rotación del círculo. Así que nuestro problema se reduce a expresar las coordenadas  del punto P en función de t o, dicho de otro modo, hallar una función de trayectoria  tal que .

La observación crucial que hay que hacer al respecto es que la medida del segmento de recta OR, en azul en la Figura 2, es igual a la medida del arco PR, también en azul, puesto que el círculo rueda sin resbalarse. Ahora bien, la medida del arco PR es bt, de manera que tenemos:

 

Ahora bien,   y  , con lo llegamos a las ecuaciones buscadas:

 

Hay algo que explicar en esta parametrización. Si se mira bien, estas ecuaciones pueden verse como el resultado de sumar dos pametrizaciones distintas, pues el punto  puede ponerse en la forma:

 

 

Fig. 2. Parametrización de la cicloide

Figura 2: Parametrización de la cicloide.

 

Fig. 3. La cicloide como suma de trayectorias.

Figura 3: La cicloide puede verse como la suma de dos trayectorias.

 

Es decir que  donde  y . El primer término de esta suma es . Aparece representado en verde en la Figura 3 y corresponde a la trayectoria de un punto que se mueve hacia la derecha a lo largo de la recta horizontal , comenzando en el punto  para cuando . Por cada unidad de t el punto se mueve  hacia la derecha. Por otro lado, el segundo término de la suma es . Aparece en azul en la Figura 3 y corresponde a la trayectoria que sigue un punto que se mueve en una circunferencia con centro en  y radio b en el sentido de las manecillas del reloj empezando en el punto , para cuando . Al sumarse estas dos trayectorias, el resultado es que el punto va girando en el sentido de las manecillas del reloj mientras el centro de la circunferencia se mueve horizontalmente en la recta horizontal y estos dos movimientos combinados van produciendo la cicloide. En la gráfica siguiente (Figura 4) se han anotado algunos de los puntos por los que pasa la cicloide y junto a ellos, en rojo, el valor del parámetro t que les corresponde.

 

Fig. 4. Algunos puntos de la cicloide.

Figura 4: Sobre la gráfica de la cicloide se muestran en rojo algunos valores
del parámetro t y en negro los puntos que les corresponden.

 

Propiedades de la cicloide.

Examinemos en primer lugar las tangentes de la cicloide. Para esto calculemos

 

que es una función de t. En la Figura 5 aparece en color rojo la gráfica de esta función junto con la cicloide que se ha sobrepuesto en azul. Es claro que las tangente son horizontales cuando , esto es, cuando  y , lo que ocurre en todos los valores de t de la forma  para . Esto se muestra en la Figura 6 mediante unos segmentos de tangente dibujados en azul. 

Por otro lado, el denominador  para todo  (  ) y en estos valores de t el numerador . Por lo tanto la cicloide no es diferenciable en los puntos de la forma  con . Sin embargo, en la Gráfica 5 se ve que

Haga clic sobre las fórmulas de este documento para ampliarlas.

 

Esto significa que las tangentes a la cicloide en los puntos  (  ) son verticales como lo muestran los segmentos dibujados en azul en la Figura 6. Estos límites se pueden calcular con la regla de L’Hôpital así:

 

 

Pasemos ahora a calcular el área bajo un arco de la cicloide. Es claro que el primer arco de la cicloide se produce cuando los valores de t están entre 0 y , puesto que la rueda necesita dar una vuelta completa para trazarlo (Figura 7). Así pues, el área bajo un arco de la cicloide está dada por:

 

Es interesante este resultado pues nos dice que el área bajo el arco de la cicloide es tres veces la del círculo que rueda para generar la cicloide. Fue Galileo el primero que conjeturó que esto debía ser así, aunque no lo pudo demostrar, y fueron Roberval en Francia y Torricelli en Italia los que lo probaron por primera vez.

 

Finalmente (Figura 8), en cuanto a la longitud de un arco de cicloide tenemos:

 

 

 

 

Fig. 5. Derivada de la cicloide

Figura 5: En rojo, la derivada . En azul, la cicloide.

 

Fig. 7. Tangentes de la cicloide.

Figura 6: Tangentes de la cicloide.

 

 

Fig. 7. Área bajo un arco de cicloide.

Figura 7: Área bajo un arco de la cicloide.

 

 

Fig. 8. Longitud de arco de la cicloide.

Figura 8: Longitud de un arco de la cicloide.

Las anteriores son algunas de las propiedades elementales de la cicloide. En cuanto a las propiedades avanzadas digamos que esta curva es la solución de dos antiguos problemas de física: el de la braquistócrona y el de la tautócrona. El primero de ellos consiste en hallar la curva a lo largo de la cual una partícula rodará en el menor tiempo posible bajo la influencia de la gravedad desde un punto A hasta un punto B situado en una posición más baja. Fue el matemático suizo Jean Bernoulli quien en 1696 formuló por primera vez este problema y quien años más tarde lo resolvió: una partícula tomará el menor tiempo posible al deslizarse desde un punto A hasta un punto más bajo B, bajo la influencia de la gravedad, si sigue en su trayectoria la forma de un arco invertido de cicloide. Además la partícula gastará el mismo tiempo en llegar al punto más bajo del arco invertido de la cicloide sin importar desde qué altura se suelte. Este es el segundo problema, el de la tautócrona, y fue resuelto por el físico alemán Huygens. Ambos problemas se estudian en un área de las matemáticas que se conoce con el nombre de cálculo de variaciones.