3.
La hipotrocoide
Introducción. - 1. La cicloide. - 2.Las
trocoides. - 3. La hipotrocoide. - 4. La epitrocoide.- 5.
El espirógrafo. – 6. Galería de
espirogramas. – Nota final
La hipotrocoide
es la curva que traza un punto situado a una distancia c del centro de un círculo móvil de radio b que rueda sin resbalarse dentro de un círculo más grande y
fijo de radio a. Su nombre se deriva del sustantivo griego
,
‘círculo, rueda’ junto con el sufijo ,
‘semejante a’, al que se le ha antepuesto la preposición que significa ‘debajo de. Se entiende entonces
que .
El lector puede entender fácilmente cómo se produce esta curva mediante el
programa de animación situado a la derecha en donde se pueden graduar a
voluntad los valores de las constantes a,
b y c arrastrando
con el ratón los pequeños cuadros de color naranja.
La forma particular de una hipotrocoide
depende de los valores de estas constantes y basta con hacer algunas
pruebas para darse cuenta de que la combinación de estos valores da lugar a
una variedad casi inagotable de configuraciones. Por ejemplo, la hipotrocoide
puede ser semejante a una flor, como con ,
y ,
pero puede tener más bien la forma de un anillo o un aro como con ,
y .
También puede parecerse a una estrella como con ,
y .
Por otro lado, la hipotrocoide puede cerrarse después de dar muchas vueltas
como con ,
y o puede cerrarse después de pocas vueltas
como con ,
y .
En el caso el punto que traza la hipotrocoide está
situado en el borde del círculo móvil que rueda dentro del círculo fijo y por
lo tanto la curva presenta los picos característicos de una cicloide. Por
eso se prefiere en esta situación llamarla hipocicloide. Un caso especial de hipocicloide se produce
cuando .
Se trata de una conocida curva parecida a una estrella de cuatro puntas que
se llama astroide en la
literatura matemática. El lector puede construirla graduando por ejemplo
los valores de las constantes así: ,
y .
Pero ahora, si se toma ,
¡el resultado es un segmento de
recta!
