3. La hipotrocoide

 

Introducción. - 1. La cicloide. - 2.Las trocoides. - 3. La hipotrocoide. - 4. La epitrocoide.- 5. El espirógrafo. – 6. Galería de espirogramas. – Nota final

La hipotrocoide es la curva que traza un punto situado a una distancia c del centro de un círculo móvil de radio b que rueda sin resbalarse dentro de un círculo más grande y fijo de radio a.  Su nombre se deriva del sustantivo griego , ‘círculo, rueda’ junto con el sufijo , ‘semejante a’, al que se le ha antepuesto la preposición  que significa ‘debajo de. Se entiende entonces que . El lector puede entender fácilmente cómo se produce esta curva mediante el programa de animación situado a la derecha en donde se pueden graduar a voluntad los valores de las constantes a, b y c arrastrando con el ratón los pequeños cuadros de color naranja.

La forma particular de una hipotrocoide depende de los valores de estas constantes y basta con hacer algunas pruebas para darse cuenta de que la combinación de estos valores da lugar a una variedad casi inagotable de configuraciones. Por ejemplo, la hipotrocoide puede ser semejante a una flor, como con ,  y , pero puede tener más bien la forma de un anillo o un aro como con ,  y . También puede parecerse a una estrella como con ,  y . Por otro lado, la hipotrocoide puede cerrarse después de dar muchas vueltas como con ,  y  o puede cerrarse después de pocas vueltas como con ,  y .

En el caso  el punto que traza la hipotrocoide está situado en el borde del círculo móvil que rueda dentro del círculo fijo y por lo tanto la curva presenta los picos característicos de una cicloide. Por eso se prefiere en esta situación llamarla hipocicloide. Un caso especial de hipocicloide se produce cuando . Se trata de una conocida curva parecida a una estrella de cuatro puntas que se llama astroide en la literatura matemática. El lector puede construirla graduando por ejemplo los valores de las constantes así: ,  y . Pero ahora, si se toma ,  ¡el resultado es un segmento de recta!

 

Programa 1: La hipotrocoide es la curva que traza un punto situado a una distancia c del centro de un círculo móvil de radio b que rueda sin resbalarse dentro de un círculo más grande y fijo de radio a.

 

Para ver este programa de animación es necesario tener instalado el Plugin de Java. Consulte la Advertencia para instalarlo. Esto no le tomará más de 15 minutos.

 

 

 

 

Ecuaciones paramétricas de la trocoide.

 

Para obtener las ecuaciones paramétricas de la hipotrocoide comencemos por poner el origen de los ejes coordenados en el centro del círculo grande y fijo, tal como se ve en la Figura 1. La posición del punto  que se emplea para trazar la trocoide es el resultado de sumar la posición del centro P del círculo pequeño y móvil respecto del origen de las coordenadas O, posición que está dada por el vector  y la posición del punto Q respecto del centro P del círculo pequeño, que está dada por el vector . De esta manera, tenemos:

.

Ahora bien, como el radio del círculo grande es a y el radio del círculo pequeño es b, entonces:

.

Consideremos en segundo lugar la posición del punto  en relación al centro del círculo pequeño que rueda. Como este punto está a una distancia c de P y como el sentido del movimiento es negativo, entonces:

.

 

 

 

 

Fig. 1. Parametrización de la hipotrocoide. 

 

Figura 1: Parametrización de la hipotrocoide.

Busquemos ahora la relación entre los ángulos t y s. Como el círculo pequeño rueda dentro del grande sin resbalarse, tenemos que la medida del arco  es igual a la medida del arco . Pero:

Por lo tanto,  y si despejamos s, tenemos: .

Combinando todo lo anterior, llegamos a las ecuaciones buscadas que son:


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