3. La epitrocoide

 

Introducción. - 1. La cicloide. - 2.Las trocoides. - 3. La hipotrocoide. - 4. La epitrocoide.- 5. El espirógrafo. – 6. Galería de espirogramas. – Nota final

 

La epitrocoide es la curva que traza un punto situado a una distancia c del centro de un círculo móvil de radio b que rueda sin resbalarse por fuera de un círculo fijo de radio a.  Su nombre se deriva del sustantivo griego , ‘círculo, rueda’ junto con el sufijo , ‘semejante a’, al que se le ha antepuesto la preposición  que significa ‘encima de’. El lector puede entender fácilmente cómo se produce esta curva mediante el programa de animación situado a la derecha en donde se pueden graduar a voluntad los valores de las constantes a, b y c arrastrando con el ratón los pequeños cuadros de color naranja.

Las epitrocoides, como la hipotrocoides, también forman un universo de una gran variedad. Basta con hacer algunas pruebas con los valores de las constantes a, b y c para caer en cuenta de ello. A veces tienen formas floreadas como con ,  y . Otras veces tienen forma de anillo o de aro como con ,  y . A veces se cierran después dar muchas vueltas como con ,  y  mientras que otras se cierran después de pocas vueltas como con ,  y . Además pueden comenzar con un largo espiral como con  ,  y .

En los casos en que , ,  y otros semejantes, se obtienen formas muy simpáticas y, por supuesto, cuando  aparecen las características puntas de la cicloide por lo que se prefiere hablar en esta situación de epicicloide..

 

Ecuaciones paramétricas de la epitrocoide.

 

 

Programa 1: La epitrocoide es la curva que traza un punto situado a una distancia c del centro de un círculo móvil de radio b que rueda sin resbalarse por fuera de un círculo fijo de radio a.

 

Para ver este programa de animación es necesario tener instalado el Plugin de Java. Consulte la Advertencia para instalarlo. Esto no le tomará más de 15 minutos.

 

 

Para obtener las ecuaciones paramétricas de la epitrocoide podemos proceder de manera muy semejante a como hicimos para obtener las de la hipotrocoide. Comencemos por poner el origen de los ejes coordenados en el centro del círculo fijo, tal como se ve en la Figura 1, en la que se representa la situación que se produce poco después de que el círculo móvil comienza a girar. La posición del punto  que se emplea para trazar la epitrocoide es el resultado de sumar la posición del centro P del círculo móvil respecto del origen de las coordenadas O, posición que está dada por el vector  y la posición del punto Q respecto del centro P del círculo pequeño, que está dada por el vector . De esta manera, tenemos:

.

Ahora bien, como en este caso el círculo móvil de radio b rueda por fuera del círculo fijo de radio a, entonces:

.

Consideremos en segundo lugar la posición del punto  en relación al centro P del círculo pequeño que rueda, es decir el vector . Como el punto Q está a una distancia c de P y como el ángulo está retrazado en  radianes, tenemos:

.

Busquemos ahora la relación entre los ángulos t y s. Como el círculo móvil rueda por fuera del círculo fijo sin resbalarse, tenemos que la medida del arco  es igual a la medida del arco . Pero:

 

 

Fig. 1. Parametrización de la epitrocoide.

Figura 1: Parametrización de la epitrocoide.

Por lo tanto,  y despejando s llegamos a: .

Combinando todo lo anterior, llegamos a las ecuaciones buscadas que son:


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