Seminario 3

Jueves, 7 de octubre del 2004

¿Aprender álgebra lineal es un proceso lineal?

Expositor: Leonardo Venegas

Departamento de Matemáticas - Universidad de Los Andes - Bogotá - Colombia
Relator: Aquiles Páramo Fonseca

1. Presentación. - 2. Resumen de la exposición. - 3. Relatoría de la discusión. - 4. Reflexión final. - 5. Participantes.
- 6. Correo de los lectores. - 7. Información adicional. - 8. La caricatura. - 9. Apéndice: Los 5 lenguajes del curso de Álgebra lineal.

1. Presentación

La charla de hoy está a cargo del profesor Leonardo Venegas quien trabaja desde hace varios años como profesor en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Los Andes. Quizás Leonardo sea entre nosotros el profesor más adecuado para hablarnos sobre el curso de Álgebra Lineal, pues se ha precupado en varias ocasiones en desentrañar los problemas de este curso y ha dirigido varios proyectos para estudiar sus problemáticas e indagar sus posibilidades.

Hacia 1999 organizó un seminario de didáctica con Rafael García, Martha Casas y María Consuelo Duarte de Pedraza, profesores del Departamento de Matemáticas, en el que este grupo hizo una detallada revisión, sección por sección, del material del libro de Grossman (véase Información adicional), poniendo énfasis en el punto de vista del estudiante. El grupo redactó unas notas muy interesantes sobre los distintos lenguajes que se manejan en el curso (Apéndice) y elaboró unas pautas para los exámenes parciales y para el examen final. Todos estos materiales fueron reunidos en un cuadernillo (Figura 1) que suele entregárseles a los profesores que van a dictar alguna de las secciones del curso de Álgebra Lineal .

2. Resumen de la exposición

por Leonardo Venegas

1. Introducción.

¿Por qué, al comparar el curso de Álgebra Lineal con otros del mismo ciclo de matemáticas para Ingeniería, Economía, Administración y Ciencias, tanto el profesor que lo tiene a su cargo como los estudiantes que lo toman sienten que es más difícil? Todo matemático sabe que lo lineal es sinónimo de un proceso simple y que, por tanto, el análisis de toda transformación lineal es más elemental que el de cualquier función estudiada en el curso de Cálculo Diferencial, sea una función trigonométrica, o una polinomial, o sea incluso la del valor absoluto. Por su parte, los estudiantes de segundo semestre del ciclo aludido suelen ubicar el curso de Álgebra Lineal en cuarto o quinto lugar, si por orden de importancia clasifican los cursos que toman en ese semestre, y de ello se podría inferir que, en principio, no están prevenidos ante un curso complicado. Sin embargo, los resultados muestran algo diferente. A medida que el curso avanza los estudiantes sienten que se les escapa su esencia, que lo que parecía sencillo se vuelve inesperadamente complicado, que el tema es bastante inasible, que se trata de un curso abstracto (quieren decir abstruso, pero no conocen el término); los profesores, a su vez, salen del curso con la indigesta sensación de que atrás quedó un episodio poco memorable para su hoja de vida anímica, y deseando internamente que el coordinador académico les haga la caridad de eximirlos de semejante experiencia para el siguiente semestre. A continuación me propongo aventurar algunos aspectos de esta dificultad, siquiera sea para sacarlos a la luz.

2. El tema del curso.

El principal referente con que cuenta un estudiante para comparar el curso de Álgebra Lineal es el de Cálculo Diferencial, ya que hasta ese momento es el único de matemáticas que ha cursado en su totalidad. Pues bien, aunque posiblemente ni el autor del texto de Cálculo Diferencial ni el profesor se lo hayan hecho explícito al estudiante, la cita que tienen a diario durante quince semanas es para conocer algunos accidentes de una función real, aquellos relativos a la topología natural de los números reales (de ahí los límites, la continuidad, la diferenciabilidad etc.). El juego es claro: todos los días el estudiante se enfrenta a una situación en la que le plantean, dentro de una cruz de ejes de referencia, una función; el estudiante debe saber identificar ciertos pormenores en ella. ¿Cuál es el juego en Álgebra Lineal? No es nada claro: algunos creen que son los sistemas de ecuaciones lineales, sólo que pronto aparecen las matrices con toda su novedad operativa y lo anterior se diluye, y en seguida aparece la geometría analítica, que a su vez da paso a los espacios vectoriales (esta enumeración apenas va por el capítulo 3 de los 6 habituales). Conclusión momentánea: el estudiante, ya sea ante el mamotrético libro o ya ante el tablero, no sabe nunca a qué es lo que juega. Posible solución: si el curso tuviera un solo eje conductor y todos los demás aspectos fueran subsidiarios de éste, quizás alcanzaría una pequeña identidad de propósito en lugar de una dispersa suma de ambiciones.

3. Interpretación de los aspectos matemáticos que componen cada sección de cada capítulo del libro.

Ya que, de los cursos de que consta el programa básico de matemáticas para Ingeniería, Economía, Administración y Ciencias, el de Álgebra Lineal es el que más teoremas contiene, hay profesores que se sentirían faltando a su deber para con la prístina ciencia que les ha sido asignado custodiar, si dejan un solo teorema sin demostrar en clase (véase por ejemplo la Figura 4). Por su parte, visto que tampoco es un curso pobre en algoritmos, el estudiante, ávido de “demostrar” que durante muchos años escolares lo han preparado para que emplee sus capacidades en reproducir un algoritmo, por complejo que sea, enfoca toda su energía en ejecutar esos procedimientos, no en verificar que la ciencia que le enseñan es coherente, atributo éste que él jamás impugnaría. Conclusión momentánea: el profesor se siente frustrado porque el estudiante no se emocione con las cuidadosas demostraciones que fundamentan cada enunciado matemático, y el estudiante se siente frustrado porque el profesor menosprecie su habilidad para reproducir algoritmos. Posible solución: la explicación argumentada puede suplir la demostración, y todo estudiante debería poder dar cuenta de por qué funciona un algoritmo.

4. Niveles de lenguaje.

3. Relatoría de la discusión

Después de la exposición anterior, el profesor Aquiles Páramo, coordinador del seminario, hizo la siguiente pregunta. Teniendo en cuenta que el curso de Álgebra Lineal es el único curso en donde los estudiantes de ingeniería ven nociones de matemática moderna, en particular, es el único curso en donde se les presenta el concepto de estructura algebraica a través de la noción de espacio vectorial, ¿no debería mostrárseles primero unas estructuras algebraicas más sencillas, como la de grupo, la de álgebra de Boole, la de retículo? Quiero decir, ¿no deberíamos ponerlos en contacto con estucturas algebraicas más simples en vez de lanzarlos directamente a trabajar con una estructura tan compleja como la espacio vectorial?

El profesor Leonardo Venegas contestó que le parece posible pero no necesario. Y añadió que le parece incluso no conveniente. Piensa que la pregunta obedece a un tipo de pensamiento que el matemático suele tener. El matemático se dice: para conquistar una estructura algebraica que tiene tres operaciones yo pasé primero por dominar unas estructuras algebraicas más simples, con dos operaciones o con una operación, que son estructuras algebraicas que tienen de pronto menos restricciones que los espacios vectoriales. Pero esta consideración no me parece tan importante para un estudiante de Álgebra Lineal. Lo que me parece más importante es ¿a través de qué les hacemos conocer la estructura algebraica? Si hacemos caer en cuenta al estudiantes de que al sumar cosas o al multiplicar cosas por un número seguimos en el mismo mundo en donde estábamos, en vez de hacerlos manejar axiomas abstractos, no me parece más difícil que los estudiantes accedan a la noción de espacio vectorial que a la de grupo por ejemplo. Pensaría incluso que la estructura de grupo resulta más abstracta porque es difícil dar ejemplos de aplicación. Mejor dicho, no es tanto de cuál estructura hablamos sino qué esperamos que el estudiante conquiste en ese primer acercamiento de su maduración mental. Me parece entonces innecesario que en este nivel les presentemos a los estudiantes las estructuras algebraicas a través de listas de axiomas abstractos.

El profesor Jorge Palacios tomó entonces la palabra para decir que él se ha preguntado en muchas ocasiones si un ingeneriero necesita todo esto en su programa de formación académica. ¿Necesita álgebra lineal realmente? El profesor Leonardo Venegas le contestó que ha tenido varias oportunidades para enfrentar esa pregunta. Contó que en el seminario sobre el curso de Álgebra Lineal que organizó con otros tres profesores (véase la Presentación) decidieron repartirse la tarea de averiguar cuáles eran las cargas de aplicación del curso en las distintas carreras que ofrece la Universidad: uno fue a indagar en Física, otro a Administración de Empresas, otro a Ingenería, otro a Economía, etc. y a través de esas pesquisas hallaron que los profesores de estas carreras consideran que todos los temas del curso tienen una carga de aplicación importante. Sin embargo, encontraron que generalmente las aplicaciones no eran de un nivel elemental, sino más bien requerían desarrollos complejos. Por ejemplo, para ver un valor propio en el contexto de la Economía hay que conocer bastante de Economía. Es decir, se necesita un esfuerzo muy grande de parte de los profesores de matemáticas para desarrollar aplicaciones que no resulten triviales si no se las contextualiza en el marco de otras áreas. Señaló además que en reuniones recientes con profesores de la Facultad de Ingeniería, reuniones que se han enfocado en buscar la manera de acortar el número de materias que ven los ingenieros, se ha hablado de este tema y se ha llegado a la conclusión de que el curso de Álgebra Lineal es "intocable" por las muchas aplicaciones que tiene en diversos campos.

El profesor Jorge Palacios insistió entonces en sus inquietudes y preguntó ¿qué es exactamente lo que utilizan los ingenieros del curso de Álgebra Lineal, la parte abstracta o la parte algorítmica? El profesor José Ricardo Arteaga intervino para decir que utilizan ambas partes y complementó su respuesta diciendo que lo que pasa es que Álgebra Lineal es un curso principalmente de formación. Contó que en las reuniones con los profesores de Ingeniería no se objetó ninguna parte del curso. Se pusieron reparos a otros temas de otras materias, como el del Teorema de Stokes en Cálculo Vectorial, pero en cambio hubo un gran acuerdo en que Álgebra Lineal no puede tocarse porque es un curso de formación. El profesor Jorge Palacios volvió sobre el asunto y preguntó si se trata de ingenieros que ejercen y utilizan el Álgebra Lineal o son ingenieros que ejercen la docencia y utilizan esta materia en sus cursos. El profesor Leonardo Venegas dijo que principalmente se trata de los segundos. La profesora Luz Miryam Echeverry intervino en ese momento y comentó que el desarrollo profesional de un ingeniero egresado de la Universidad de Los Andes es el ser gerente y dijo: si se va a eso, no va a necesitar nada y agregó: ¡de pronto hay que enseñarles a escoger la marca de whisky!

El profesor Hernando Echeverri tomó entonces el uso de la palabra y dijo que hay otra manera de mirar las cosas e hizo la propuesta de que el curso de Álgebra Lineal se divida en dos: en un primer curso se vería la parte operativa, el manejo de matrices, la programación lineal y se dejaría la parte estructural para un segundo curso de Álgebra Lineal, que se daría más adelante, en un momento más maduro del estudiante. Dijo: hago esta propuesta porque siento que cuando dicto el curso de Álgebra Lineal 2, poco después de Álgebra Lineal 1, los estudiantes saben la parte operativa pero no la parte estructural. Sobre ella podría decirse: "si pasó, cate que no la vio". Eso hace que uno se pregunte: ¿para qué estoy enseñando esto? Me parece que en el primer curso bastaría con cubrir los temas operativos y me parece que sólo se deben cubrir los temas más gráficos de. Opino que el texto que se está usando (el de Grossman) es demasiado pesado, muy grueso, y quiere meter todos los lenguajes y todas las interpretaciones juntas. Está lleno de ejemplos y más ejemplos, lo que hace que el estudiante no encuentre dónde agarrarse. Me pregunto si no habrá un texto más flaco.

El profesor Leonardo Venegas comentó sobre el primer punto de la intervención del profesor Hernando Echeverri que si él fuera a hacer el curso sin atenerse al libro actual dirigiría su atención hacia la conquista por parte del estudiante de los cinco lenguajes mentales de la abstracción matemática que conforman el curso, pero tendría sentimientos encontrados si solo se limitara a presentar las cosas en un lenguaje matemático muy directo. Piensa que el 85% de los ejemplos de espacios vectoriales deben estar relacionados con y sólo el 15% de los ejemplos podrán relacionarse con espacios "exóticos", por decirlo así, como los espacios de matrices o los espacios de polinomios. El profesor Hernando Echeverri lo interrumpió para decirle que él cree que los ejemplos deben limitarse solamente a y . Al profesor Leonardo Venegas esto le pareció perfectamente posible pero señaló que lo importante para él es que se adopte una forma más concreta de dar el curso estableciendo con los alumnos unas reglas de juego claras en este sentido. Y añadió que el propósito del curso debe ser que el estudiante llegue a comprender sólo en una pequeña proporción los lenguajes abstractos que allí aparecen. Le parece que la forma en que se están dictando los cursos de Álgebra Lineal tiene el defecto de que se supone que todos los contenidos deben explicarse utilizando estos lenguajes matemáticos abstractos lo que establece una pretención pegagógica muy alta, que es la causante de la gran deserción que se presenta en estos cursos.

El profesor Hernando Echeverri complementó esta opinión diciendo que en los cursos de Álgebra Lineal se les enseñan a los estudiantes conceptos de teoría de conjuntos y de estructuras algebraicas, pero que en Cálculo Vectorial, que es un curso que viene después, no saben reconocer ni siquiera la ecuación como la ecuación de un plano, lo que lo lleva a preguntarse: ¿qué es lo que queremos que el estudiante entienda primero? Y concluyó recomendando que usemos en este curso un lenguaje más concreto, más sencillo, un lenguaje quizás más cercano al que se emplea en los cursos de Cálculo.

En seguida la profesora Margarita de Meza tomó la palabra para contar que en la reunión que recientemente se celebró con profesores de la Facultad de Ingenería se manifestaron opiniones muy interesantes a este respecto. Por ejemplo, los profesores de Ingeniería Industrial consideran importante que en Álgebra Lineal se vea pues a diferencia de Ingeniería Mecánica en donde son más relevantes las referencias geométricas a y , a ellos les interesan más los problemas en que se manejan n variables. Otra cosa que dijeron los profesores de Ingeniería Industrial es que para ellos es necesaria la noción de independencia lineal a la hora de resolver problemas de optimización y también la noción de base de un espacio vectorial, pero no solamente los algoritmos para calcular por ejemplo una base de un espacio vectorial, sino principalmente la comprensión clara de estos conceptos. Y relató que los profesores de Ingeniería dijeron que a ellos les tocaba volver a enseñar estos conceptos en los cursos de Optimización pues parecía que los estudiantes no los llegaban a entender en los cursos de Álgebra Lineal. Otra cosa que se mencionó en esa reunión tiene que ver con los cálculos matriciales y los cálculos de determinantes. Según los profesores de Ingeniería no habría que poner mucho énfasis en esos temas pues las calculadoras electrónicas permiten hacer estos cálculos muy bien. Finalmente los profesores de Ingeniería piensan que se debería poner más atención al análisis de los algoritmos, es decir, tocar asuntos de eficiencia algorítmica y comparar entre sí diversos algortimos que resuelven un mismo problema.

Después la profesora Margarita de Meza se refirió al libro de Grossman y dijo que es un libro que tiene mucho material referente al uso de las calculadoras en Álgebra Lineal. La profesora Luz Miryam Echeverry no estuvo de acuerdo con esto y dijo que el libro es gordo sobre todo por los materiales para utilizar Matlab. La discusión se empantanó un poco en este asunto de saber si es por los materiales de Matlab o por los que se refieren al uso de calculadoras por lo que el libro de Grossman es muy grueso. Sin embargo, la profesora Margarita de Meza consiguió volver sobre lo que estaba diciendo para señalar que los profesores nos saltamos muchos materiales que tiene el libro en lo referente al uso de calculadora y a las aplicaciones del Álgebra Lineal en campos que no son estrictamente matemáticos.

Para terminar el profesor Aquiles Páramo preguntó si se han hecho experimentos de dictar el curso de Álgebra Lineal empleando otros libros. Dijo que al fin y al cabo es un curso problemático, calificándolo de “papa caliente”, y propuso que se indague la posibilidad de emplear otros textos. El profesor Leonardo Venegas dijo que cuando fue coordinador del curso y le llegaban las editoriales a presentar nuevos libros de texto para Álgebra Lineal, constató que todos eran muy parecidos, igualmente gruesos, y que sus temas eran grosso modo los mismos. Y agregó que está completamente seguro de que nosotros, los profesores del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Los Andes, estamos en capacidad de detectar los requerimientos singulares de un persona de la cultura colombiana y de los estudiantes de la Universidad y de hacer unos libros no más inapropiados que aquéllos, sino incluso más apropiados. Y terminó diciendo que deberíamos hacerlo.

4. Reflexión final

por Aquiles Páramo Fonseca

El verdadero maestro lleva a su discípulo poco a poco, peldaño tras peldaño, hasta la conquista de una cima. Goza de un sentido especial que le permite percibir las capacidades de su alumno y la forma en que éstas van cambiando a través de su ascenso y por eso sabe graduar adecuadamente los esfuerzos que le pide a cada instante. No lo somete a exigencias demasiado fuertes que lo hagan fracasar a menudo o que lo derroten con exceso pues sabe que de esta manera su alumno puede desalentarse y abandonar la tarea. Está consciente de que su estudiante debe estar bien preparado para poder enfrentar con éxito un reto tras otro. Pero tampoco le suaviza demasiado el camino pues tiene la certeza de que su discípulo necesita sentir su propio progreso y experimentar la satisfacción de ir venciendo por él mismo una meta tras otra para no caer en el aburrimiento o distraerse. La verdadera pedagogía es pues un asunto sutil, que necesita una fina valoración de las posibilidades del estudiante y una adecuada graduación de las exigencias. Requiere paciencia y confianza a la vez. El buen maestro guía y acompaña a su alumno paso a paso, lo vigila y lo anima durante todo el ascenso.

Me pregunto si no es eso lo que está fallando en los cursos de Álgebra Lineal. ¿Qué tan bien estamos percibiendo las capacidades de los estudiantes que comienzan el curso? ¿Están ellos realmente preparados para lo que se les va a exigir en este curso? Hay que tener en cuenta que, fuera de la preparación del bachillerato, el único curso de matemáticas universitarias que han visto antes de Álgebra Lineal es el de Cálculo Diferencial y que, por lo tanto, sólo han trabajado con las funciones reales y con los asuntos relacionados con ellas. ¿Pero están realmente capacitados para trabajar con otra clase de funciones en las que se manejan objetos matemáticos distintos de los números reales? ¿Tienen al llegar alguna familiaridad con la notación y con los conceptos de la llamada “Matemática moderna”? ¿Han trabajado antes con algunas estructuras algebraicas sencillas? ¿No les estamos pidiendo un esfuerzo demasiado grande al pretender que en un semestre logren dominar una gran cantidad de lenguajes matemáticos algunos de ellos bastante abstractos (véase el Apéndice)? ¿No se debería hacer una reforma del programa del curso que incluyera al comienzo una inducción a ciertos temas de matemática estructural y que excluyera al final algunos temas? ¿No valdría la pena experimentar con otros libros de texto? ¿No se debería poner menos énfasis en aquellas demostraciones que no se basan en intuiciones fáciles de desarrollar? ¿Qué lugar debe tener la presentación de algoritmos largos y complejos? ¿Cómo hacer que el estudiante perciba una unidad entre tantos y tan diversos temas?

En realidad este curso suscita muchas interrogantes. Pero me resisto a creer que sus problemáticas sean insuperables. No puedo creer que el curso de Álgebra Lineal sea una especie de karma que, como un destino trágico, tengamos que aguantar con estoicismo tanto los profesores como los estudiantes. Me parece simplemente que no hemos encontrado la manera de convertirlo en un buen curso. Y tiene que haberla. ¿No vale la pena entonces experimentar varios caminos para hallarla? Quizás tratar de encontrar este camino podría ser un reto pedagógico muy estimulante para muchos de nosotros.

5. Participantes

6. Correo de los lectores

	¿Dónde está el Cuadernillo? ¿Y dónde están las dos tesis sobre el curso de Álgebra Lineal?	28 de octubre del 2004
	“Estuve mirando su página de Temas matemáticos y quedé completamente descrestado. El espirógrafo es lo máximo. Miré las notas del seminario de pedagogía, ¡muy buenas también! Además suelo estar de acuerdo en sus veredictos finales. Pero algo raro está pasando: por ejemplo, ese cuadernillo de Álgebra Lineal del que hablan, a mí nunca me lo pasaron y dicté ese curso el semestre pasado. Y hay más: existe un par de tesis (recientes) sobre el curso, pero tampoco se dijo nada de ellas, ni se aprovechan en las clases. Creo que los cursos se pueden coordinar mejor si los coordinadores hacen cosas como su página. Pero debe divulgarse más la cuestión”. Alejandro Martín Maldonado Universidad de Los Andes Respuesta del relator: Gracias por tu correo. Al respecto te comento un par de cosas. En primer lugar, sería bueno llegar a saber cuáles son esas dos tesis de las que tú hablas y ponerse en contacto con sus autores para que las podamos divulgar en esta página, por ejemplo, mediante un resumen o por medio de un enlace. En segundo lugar, hay que seguirle la pista al Cuadernillo sobre Álgebra Lineal porque parece que se perdió. El propio profesor Leonardo Venegas no tiene los archivos en su computadora, ¡te imaginas! Cualquier información sobre el cuadernillo o sobre las tesis será bienvenida.

Envíenos su opinión sobre los temas tratados en este seminario
escribiendo un correo electrónico a:

aparamo@uniandes.edu.co

7. Información adicional

Algunos enlaces útiles:

1. Estadística sobre Álgebra Lineal. Archivo Excel completo del estudio estadístico organizado en 2000-2002 por el profesor Leonardo Venegas, con la ayuda de algunos monitores, sobre la manera en que se estaba cumpliendo el programa del curso en la realidad de la práctica docente.
2. Reporte sobre Álgebra Lineal. Archivo Word que trae un reporte escrito del estudio estadístico organizado en 2000-2002 por el profesor Leonardo Venegas.
3. LIDIE. Portal del Laboratorio de Investigación y Desarrollo de Información de la Universidad de Los Andes en donde se está desarrollando un proyecto de Hipermedia sobre el curso de Álgebra Lineal.

Ayudas bibliográficas :

1. El texto: Stanley I. Grossman, Álgebra lineal, Quinta Edición, Traducción de Marcia González Osuna, McGraw-Hill / Interamericana de México, México, 1996, 634 págs y 119 págs. de Apéndices.
2. El cuadernillo: Leonardo Venegas, Martha Casas, Rafael García, María Consuelo Duarte, Material de apoyo didáctico para Álgebra lineal, Proyecto para el Fondo de Educación de la Facultad de Ciencias, documento de 60 págs., sin fecha.

7. La caricatura

La caricatura de la invitación al seminario
Haga clic sobre la imagen para ver el cartel completo.

Apéndice

Los cinco lenguajes empleados en el curso de Álgebra Lineal

De acuerdo al cuadernillo titulado Material de apoyo didáctico para Álgebra lineal (véase Presentación) los cinco lenguajes que se emplean en el curso de Álgebra Lineal son los siguientes: Lenguaje 1. El lenguaje de los sistemas de ecuaciones lineales. Este lenguaje comprende la simbología propia de los sistemas de m ecuaciones con n incógnitas e incluye el juego de subíndices dobles. El estudiante debe dominarlo para entender las transformaciones de unos sistemas de ecuaciones en otros que conserven el mismo conjunto de soluciones y también ciertos algoritmos que se emplean para resolverlos, como el de Gauss-Jordan o el de eliminación de Gauss.   Lenguaje 2. El lenguaje de las matrices. El estudiante debe dominar la notación de matrices con su juego de subíndices dobles y debe comprender cómo se realizan las operaciones matriciales más comunes: suma de matrices, multiplicación de matrices por un escalar, producto de matrices, inversa de una matriz, cálculo del determinate de una matriz, cálculo de los menores y de la matriz adjunta. El sistema anterior se convierte en una ecuación matricial.   Lenguaje 3. El lenguaje geométrico de rectas y de planos. El estudiante debe aprender a interpretar los sistemas de ecuaciones lineales en términos geométricos. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se interpreta como el problema de hallar la intersección de dos rectas en el plano y uno de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas como el problema de hallar la intersección de tres planos en el espacio. Además el estudiante debe aprender a hallar la proyección de un vector en otro, la distancia entre un punto y un plano, la distancia entre dos rectas en el espacio y otros problemas geométricos por el estilo.   Lenguaje 4. El lenguaje de los vectores El estudiante debe comprender qué es un espacio vectorial y saber manejar su simbología. El anterior sistema de ecuaciones se reinterpreta como una igualdad en la que aparece una combinación lineal de n vectores y el problema consiste ahora en saber si el vector b forma parte del espacio generado por estos vectores v. El lenguaje de los espacios vectoriales es el que resulta más abstracto para el estudiante. Se espera de él que comprenda los conceptos subespacio vectorial, de espacio generado, de independencia lineal y de base de un espacio vectorial y otros semejantes.   Lenguaje 5. El lenguaje de las transformaciones lineales. El estudiante debe saber manejar la simbología propia de las transformaciones lineales y debe entender las nociones de núcleo e imagen de una transformación lineal. Además, debe saber calcular su rango y su nulidad, sus valores propios y sus espacios propios. El sistema de ecuaciones lineales original se ve ahora como el problema de hallar todos los vectores que se transforman en otro vector mediante la aplicación de cierta tranformación lineal.