La integral de  

 

 

 

 

por David Ricardo Sánchez

david-sa@uniandes.edu.co

 

Estudiante de Cálculo Integral de Honores

Universidad de Los Andes  Bogotá - Colombia

Semestre 1 del 2005

 

 

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Problema: Calcular la integral .

 

Problema tomado de Michael Spivak, Calculus, 2ª edición, Editorial Reverté, México, 1993, pág. 530 (Ejercicio 7-ix del Capítulo 18: Integración en términos elementales).

 

 

 

 

 

 

Solución: Se hace la sustitución . Entonces  y . Derivando se obtiene . De esta manera:

 

 

 

Ahora, téngase en cuenta que  se puede factorizar de la siguiente forma:

 

.

 

 

Así la integral se puede expresar como:

 

 

 

Los discriminantes de los dos factores cuadráticos que aparecen en el denominador del integrando son:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Comentarios del profesor Aquiles Páramo)

 

 

 

¡David comienza con unas sustituciones espectaculares!

 

 

 

En realidad, este “téngase en cuenta” es cosa de prestidigitación. Es un “as” sacado de la manga. Después de masticarlo un poco, creo que la maniobra empleada por David se puede analizar así: se piensa en  como un cuadrado, es decir: . Así pues se tiene:

 

 

 

Entonces se completa el cuadrado:

 

.

 

Ahora lo que se ve es una diferencia de cuadrados y por lo tanto

 

 

 

que es lo mismo que el resultado obtenido pero en otro orden. ¡Bien, David!

 

Así que son factores cuadráticos irreducibles. Planteamos entonces la siguiente ecuación para hacer la descomposición en fracciones parciales:

 

 

 

Entonces

 

 

 

Desarrollando y agrupando se tiene:

 

 

 

 

¡Las tediosas fracciones parciales!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lo que conduce al siguiente sistema de ecuaciones lineales:

 

                                    

                                                                                                                            

Remplazando [1] en la ecuación [3] y remplazando [4] en la ecuación [2], el sistema se reduce a:

 

                                        

                                                                                                                            

Por la ecuación [1] . Entonces la ecuación [5] conduce a que  y así:

 

 y .

 

De una manera semejante, por la ecuación [4] . Entonces la ecuación [6] conduce a que  y así

 

.

 

Por lo tanto, volviendo atrás, nuestra integral se convierte en:

 

 

 

 

Aquí hay que recordar que dos polinomios son iguales si son del mismo grado y si sus coeficientes son iguales.

 

 

 

 

 

 

 

David hace su exposición en clase.

 

Consideremos por separado estas dos integrales. La primera es:

 

 

 

Para integrar esta expresión utilizamos la técnica de completar el cuadrado:

 

 

 

Ahora hacemos la sustitución . Por lo tanto  y además . De esta manera la integral se convierte en:

 

.

 

¡Muy de acuerdo con hacer esta separación de la integral! Creo que resulta muy cómoda.

 

 

 

 

 

Separamos esta integral nuevamente en dos:

 

 

 

La primera de estas integrales es:

 

 

 

Que puede integrarse con la sustitución simple , por lo que . Así que:

 

.

 

Para restituir todas las sustituciones, procedemos de la siguiente manera:

 

 

 

La segunda de las integrales de  es:

 

.

¡Otra separación! Por lo visto la integral original va a convertirse en cuatro integrales por separado!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Comenté este interesante problema con mi colega, el profesor Roberto Ortiz, y éste muy gentilmente me remitió al texto de Cálculo diferencial e integral del matemático ruso Marón donde se trata de la integral impropia

 

.

 

Consulte al final los Comentarios adicionales.

 

Esta expresión se integra fácilmente con la fórmula de arcotangente:

 

.

 

Y restituyendo todas las sustituciones:

 

 

 

La segunda parte de la integral original, esto es , se integra de una manera completamente similar a la anterior. Se separa en dos integrales . Sólo hay que tener en cuenta el cambio de signo en el término . Así pues, para la primera tenemos tenemos:

 

 

 

Y para la segunda:

 

 

 

Recordar que la fórmula de arcotangente utilizada aquí por David es:

 

.

Si reunimos todos los resultados que hemos obtenido por separado en [8], [9], [10] y [11] y los combinamos de acuerdo a la expresión [7], tenemos finalmente:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¡Felicitaciones, David! ¡Bien trabajado!

 

 

 

 

 

 

Comentarios adicionales

Por el profesor Aquiles Páramo

aparamo@uniandes.edu.co

 

 

 

 

 

Comentario 1. Por una gentil sugerencia de mi colega, el profesor Roberto Ortiz, del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Los Andes, he consultado el texto de Cálculo Diferencial e Integral del matemático ruso Marón (И. А. МАРОН , Дифференцалъное и интегальное исчисление в примерах и задачах, Москва, 1970, pág. 351)  en donde éste calcula la integral impropia

 

.

 

De acuerdo a lo expuesto anteriormente por David Ricardo Sánchez  se puede comenzar poniendo  y se tiene . Además si , entonces  y si , entonces . Por lo tanto:

 

.

 

 

 

Gráfica de la función .
El área sombreada corresponde
 a la integral impropia

 

.

El profesor Marón hace los cálculos de la siguiente manera: se pone  y se tiene . Si , entonces  y si , entonces . Por lo tanto:

 

.

 

Como estas dos integrales son iguales, entonces:

 

.

 

Ahora ponemos  y así . Además si , entonces  y si , entonces . Por lo tanto:

 

.

 

 

Comentario 2.  Cuando la integral  se calcula con el programa de integración simbólica de Maple 7 se obtiene la siguiente respuesta:

 

> int(sqrt(tan(x)),x);

 

 

 

Me pregunto cómo se unirá esto con la respuesta de David Ricardo Sánchez.

 

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