Por tres puntos pasa una sola función cuadrática

 

 

 

 

por Santiago Saavedra Pineda

san-saav@uniandes.edu.co

 

Estudiante de Cálculo Integral de Honores

Universidad de Los Andes  Bogotá - Colombia

Semestre 1 del 2005

 

 

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Problema: Demostrar que por tres puntos del plano pasa una y solo una función cuadrática de la forma .

 

Este problema surgió en clase cuando se explicó la famosa regla de Simpson a propósito del tema de los métodos de integración aproximada. Como es bien sabido, en este método se emplean parábolas para aproximar una curva y cada una de las parábolas empleadas debe pasar por tres puntos dados del plano. Pero, claro está, es necesario asegurar que tales parábolas existen y son únicas para los tres puntos dados. El planteamiento de Santiago fue el de demostrar este hecho para funciones cuadráticas.

 

 

 

 

Solución: Primero se demuestra que existe al menos una función cuadrática de la forma  cuya gráfica pasa por tres puntos dados.

 

Sean ,  y  tres puntos del plano, distintos dos a dos. Utilizando la fórmula de interpolación de Lagrange construimos la siguiente función cuadrática:

 

.

 

Nótese que no hay problemas con el denominador pues se asumió que los puntos son distintos dos a dos y así ,  y .

 

Es fácil ver que la gráfica de esta función cuadrática pasa por los tres puntos dados. En efecto se tiene:

 

 

 

El primer sumando se hace  y los dos últimos se hacen 0. De una manera similar se tendrá  y .

 

 

 

Anotación: Si los puntos son colineales, es decir, si existen ,  tales que  (  ) entonces el coeficiente  de  que corresponde a  es 0 pues:

 

 

 

En segundo lugar se demuestra que tal función cuadrática  que pasa por los tres puntos es única.

 

Supóngase que existen dos funciones polinómicas  y , de grado menor o igual que 2, que pasan por los tres puntos. Entonces se tendrá:

 

,  y .

 

Construyamos la función polinómica . En primer lugar, obsérvese que como  y , entonces .

Obsérvese además que . Entonces  tiene al menos tres raíces reales distintas y como su grado es menor o igual a 2, entonces  es idénticamente igual a la función 0, pues el teorema fundamental del álgebra dice que un polinomio de grado n tiene a lo más n raíces reales. Así, para todo ,  y por lo tanto  como se quería mostrar.

 

 

 

 

(Comentarios del profesor Aquiles Páramo)

 

 

 

¡Muy buena idea, Santiago, la de utilizar en este problema los polinomios interpolantes de Lagrange!

 

Sobre estos polinomios pueden consultarse una nota en los  Comentarios adicionales.

 

 

 

Por tres puntos del plano pasa la gráfica de una única función cuadrática.

 

 

 

 

 

En esta Anotación Santiago está diciendo tácitamente que si los tres puntos son colineales la curva que pasa por ellos es una recta y no una parábola como en el otro caso.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Santiago hace su exposición en el tablero.

 

 

 

 

 

 

¡Muy bien, Santiago! Un trabajo impecable.

 

 

 

 

 

 

Comentarios adicionales

Por el profesor Aquiles Páramo

aparamo@uniandes.edu.co

 

 

 

Comentario 1.  El método de los polinomios interpolantes de Lagrange es más general que el utilizado en el problema anterior. Puede ser interesante conocer el siguiente teorema que hemos  tomado de Burden, Richard L. y Faires, J. Douglas, Análisis numérico, 7ª edición, Thomson Learning, México, 2002, p. 109.

 

Teorema: Si  son  números distintos y si  es una función cuyos valores  están dados para esos números, entonces existe un polinomio único  de grado inferior o igual a  con la propiedad de que

 

 

 

para cada . Este polinomio está dado por

 

 

 

donde para cada  se tiene

 

 ”

 

 

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