El copo de nieve de Sierpinski

por Laura Escobar Vega

la-escob@uniandes.edu.co

Estudiante de Cálculo Integral de Honores

Universidad de Los Andes  Bogotá - Colombia

Semestre 1 del 2005

Haga clic sobre cualquier fórmula de este documento si desea ampliarla.

Problema: Mostrar una figura plana cerrada en la que se dé el paradójico hecho de que su perímetro sea infinito pero el área que encierra sea finita.

Este problema surgió a propósito de un interesante ejercicio del libro de Stewart, titulado “La trompeta del arcángel Gabriel”, referido a áreas de superficies de revolución, en el que un sólido de revolución presenta una superficie que tiene área infinita, pero que encierra un volumen finito.

Véase James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, Fifth Edition, Thomson Brooks/Cole, Belmont CA, 2003 p. 559 (Exercise 25 in Section 8.2: Area of a Surface of Revolution).

Solución: Una figura plana cerrada que tiene perímetro infinito pero encierra un área finita es el fractal llamado copo de nieve de Sierpinski o también curva de Koch.

Tal como puede apreciarse en la Figura 1, este fractal se forma partiendo de un triángulo equilátero cuyos lados tienen longitud , al que llamaremos fractal de Nivel 0. En una primera transformación, cada lado se divide en tres segmentos de igual longitud. El segmento del medio se retira y se remplaza por dos segmentos de longitud  que forman con los segmentos adyacentes un ángulo . La figura que se obtiene es el fractal del Nivel 1.

Figura 1. Los distintos niveles del copo de nieve de Sierpinski.

En una segunda transformación, se vuelve a dividir cada uno de los segmentos obtenidos en tres segmentos de igual longitud, se retiran los segmentos del medio y se remplazan nuevamente por dos segmentos, que tienen una longitud esta vez de , que forman con los segmentos adyacentes un ángulo . Con esto se obtiene el fractal de Nivel 2.

Este proceso de transformación se continúa sucesivamente. Se entiende que el copo de nieve de Sierpinski, al que nos referimos aquí, es la figura que se obtiene cuando el número  correspondiente al nivel del fractal tiene a infinito. Su borde es una curva densamente quebrada que tiene la notable propiedad de que sus partes son autosemejantes con el segmento total al que pertenecen.

El perímetro

Para encontrar el perímetro de este fractal  se observan detenidamente las primeras transformaciones con el fin de encontrar una serie que las generalice.

Es importante anotar  lo siguiente: cada vez que se agrega un par de segmentos en uno de los lados, el perímetro se aumenta en la longitud de uno solo de ellos puesto que el segmento del medio se retira.

(Comentarios del profesor Aquiles Páramo)

¡Un ejemplo muy bien elegido porque es verdaderamente hermoso, Laura!

En los Comentarios adicionales
el lector hallará un programa que desarrollé en Java para ilustrar este trabajo de Laura, en el que se puede apreciar el efecto que tiene el ángulo  en la forma general de este fractal.

Laura dibuja el fractal en el tablero al comenzar su exposición.

Esta tabla de Laura es muy esclarecedora y permite construir fácilmente la serie que se necesita.

Entonces, la serie para hallar el perímetro  del fractal cuando se hacen infinitas transformaciones es la siguiente:

.

Se trata de una serie geométrica cuya razón es  y en la que . Entonces, como , la serie diverge. Además diverge  a  porque es claro que si  se eleva sucesivamente a una potencia entera  el resultado va a ir aumentando y este efecto será aún mayor si se hace una suma acumulativa como la que está implicada en la serie. Por lo tanto, el perímetro del fractal es infinito, es decir:

.

Aquí debemos recordar lo siguiente sobre la serie geométrica:

El área.

Para encontrar el área de este fractal analizamos los primeros casos con el propósito de encontrar un patrón.

Figura 2: Áreas que se agregan en cada transformación

Supóngase que  es el área del triángulo original, es decir, el área del fractal de Nivel 0. En la Figura 2 se observa en azul el triángulo original y en color naranja las áreas triangulares que se agregan a éste para obtener el fractal de Nivel 1. Las líneas divisorias dejan ver que el área de cada triángulo nuevo es  del original. Algo semejante sucede en el fractal del Nivel 2 en el que el área de cada triángulo agregado es .

La siguiente tabla resume estas observaciones:

Entonces el área total del copo de nieve de Sierpinski, cuando el número de transformaciones tiende a infinito, está dada por la serie:

.

Es necesario convertir esta fórmula en una expresión de la forma  para saber si converge o diverge. Obsérvese que:

.

Así pues:

.

En este caso  y . Como , entonces la serie converge a . Así pues, el área total es:

Me parecen muy claros estos planteamientos sobre las áreas que se van agregando en cada una de las transformaciones del fractal.

.

Por lo tanto, el área encerrada por el copo de nieve de Sierpinski es finita.

¡Excelente trabajo, Laura!

Comentarios adicionales

Por el profesor Aquiles Páramo

aparamo@uniandes.edu.co

Comentario.  En el programa que aparece a la izquierda el lector puede ver cómo incide el ángulo  en la forma que puede llegar a tener el copo de nieve de Sierpinski, que es la curva de Koch montada en un triángulo equilátero. Basta arrastrar cualquiera de los cuadritos de color naranja para modificar la medida de éste. Luego, el lector podrá accionar los botones situados abajo a la izquierda para generar el fractal en sus distintos niveles. En cualquier momento podrá oprimir el botón “Cambiar ángulo”.

La idea de este  programa me fue inspirada por el trabajo de Laura y  por el interés que el estudiante Daniel Wills de mi curso de Matemática Estructural de este Semestre 1 del 2005 puso en la curva de Koch y en particular en la forma de medir su dimensión fractal. Daniel me escribió a mitad de semestre un breve trabajo sobre este inquietante tema y me he permitido incluir aquí, con su autorización, algunos de sus pasajes.

¿De dónde salen las dimensiones fraccionarias o fractales?

La pregunta del título de este trabajo me llevó a averiguar en Internet y a encontrar varias definiciones del concepto de dimensión, de las cuales las dimensión euclídea es la menos general. Sin embargo ésta siempre coincide con las definiciones más generales en los casos que ella abarca. Y la definición de Hausdorff-Besicovitch que es en la que entran los fractales, no es una excepción. La definición es la siguiente:

“Pick a point in a metric space. This point plus all others lying less than or equal to a certain distance away comprise a region of the space called a closed disk. The term disk is used because such regions are disk-shaped in the coordinate plane with the usual metric but any shape is possible. In euclidean three-space disks would be balls while in a two-space with a Manhattan metric they would be squares.

“How many disks does it take to cover the Koch coastline? Well, it depends on their size of course. 1 disk with diameter 1 is sufficient to cover the whole thing, 4 disks with diameter 1/3, 16 disks with diameter 1/9, 64 disks with diameter 1/27, and so on. In general, it takes 4ⁿ disks of radius (1/3)ⁿ to cover the Koch coastline. If we apply this procedure to any entity in any metric space we can define a quantity that is the equivalent of a dimension. The Hausdorff-Besicovitch dimension of an object in a metric space is given by the formula

where N(h) is the number of disks of size h needed to cover the object. Thus the Koch coastline has a Hausdorff-Besicovitch dimension which is the limit of the sequence

 ”

[Tomado de la página de Glen Elert, The Chaos HyperTextbook, About Dimension  (3.3. Fractal Dimension)]

Y ahora, ¿dónde estaba el error el razonamiento? Pues aparentemente todos los conjuntos quebrados un número finito de veces, no son fractales y por lo tanto tienen dimensión entera  (más adelante justificaré esto con la definición de fractal). Sin embargo, no todas las curvas quebradas infinitas veces tienden a cubrir una porción de plano. Simplemente  parecen tender hacia una “curva” más o menos quebrantada, que se ubica en alguna parte entre la línea y el plano. La dimensión fractal parece medir precisamente algo así como el índice de rugosidad. Esto último se ve bastante bien cambiando el ángulo en el conjunto de von Koch como lo muestra la figura siguiente.

[Tomado de la página de Charles Vasallo, Notion de dimension fractale.]

Nótese que en el último caso (ángulo de 90 grados), como en la curva de Peano, la dimensión es entera. Entonces, ¿es o no fractal? Pues la intuición dice que sí, como también lo hace la definición de fractal:  

“A fractal is any entity whose Hausdorff-Besicovitch dimension strictly exceeds its topological dimension (D > D_T). Thus, the Peano space-filling curve is also a fractal as we would expect it to be. Even though its Hausdorff-Besicovitch dimension is a whole number (D = 2) its topological dimension (D_T = 1) is strictly less than this.”

[Tomado de la página de Glen Elert, The Chaos HyperTextbook, About Dimension  (3.3. Fractal Dimension)]

Por lo tanto la existencia de la (para mí) contra intuitiva noción de dimensión no entera, parece estar justificada. Excepto que los conjuntos fractales considerados hasta el momento no existen. La razón es que todos se construyen de forma recurrente, iterándose hasta el infinito. Lo cual es imposible en la práctica pues por más iteraciones que haga un computador, siempre será un número finito de veces.

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