LOS NÚMEROS COMPLEJOS

por Jorge José Osés Recio

joses@uniandes.edu.co

 

Departamento de Matemáticas - Universidad de los Andes – Bogotá – Colombia - Noviembre del 2004

 

 

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Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado  se analizó el signo del discriminante  y su relación con  las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del conjunto de los números complejos.

 

 

Sección 1

Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.

Forma binómica de un número complejo

Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica

Conjugado de un número complejo

Módulo y argumento de un número complejo

División de números complejos

Raíces complejas de la ecuación de segundo grado

Ejercicios de la Sección 1.

Sección 2

Forma trigonométrica o polar de un número complejo

Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica

Fórmula de Moivre

Forma exponencial de un número complejo

Multiplicación y división de números complejos en su forma exponencial

Ejercicios de la Sección 2.

Sección 3

Raíces n-ésimas de un número complejo

El logaritmo de un número complejo

Ejercicios de la Sección 3

Respuestas

Sección 1

Sección 2

Sección 3

 

Sección 1

Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.

Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra  al conjunto de los pares de números reales  en el cual definimos las siguientes operaciones:

 

Suma.

Multiplicación.

 

En el número complejo  llamaremos a  la parte real  y  a  la parte imaginaria. Note que la suma y producto de pares no está definida en .

 

Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:

 

Igualdad.  

Multiplicación por un escalar.   donde .

 

Ejemplo. Dados  y , hallar:

a)

b)

c)

 

Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los mismos mediante el plano  (Gráfica 1) En esta representación se le dice  eje real (Re) al eje de las  y  eje imaginario (Im) al eje de las .

 

 

 

Gráfica 1: Representación del número complejo .

 

 

Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en el plano  el número complejo  coincide con el  número real . De este modo tenemos  cuando . Los números complejos de la forma  son llamados imaginarios puros.

 

Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar :  

 

 

Para eso escribimos el número real  en la forma  y aplicamos la definición de multiplicación:

 

.

 

Denotaremos el número complejo  con la letra  y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil demostrar  que  .

 

 

Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación .

 

Forma binómica de un número complejo

Sea   un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:

 

 

Pero como  y , entonces . En este caso  se llama forma binómica o binomia del número complejo.

Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica

,  puesto que  son todos números reales.

 porque .

 

Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio; por lo que la realización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos se puede realizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que se trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.

 

Ejemplo.  Si   y , halle  y .

 

 

Conjugado de un número complejo

Si    es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número  , es decir, al número complejo que tiene la misma parte real que  pero la parte imaginaria de signo opuesto.

 

Ejemplo. Si , entonces  y si , entonces .

Módulo y argumento de un número complejo

Sea  un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo , al número real dado por   y lo denotaremos por  . El módulo se interpreta como la distancia al origen del número  (Gráfica 2).

 

Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo , al ángulo comprendido entre el eje  y el radio vector que determina  a . El argumento de  se denota por  y se calcula mediante la expresión:

 

.

 

 

 

Gráfica 2: Módulo y argumento de un número complejo.

 

 

Propiedad: 

 

Demostración:

 

División de números complejos

La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación y división por el conjugado del denominador:

 

 

Ejemplo.  Dados   y , halle: (a)   y  (b) .

(a) Como   entonces  

(b) Para hallar  multiplicamos y dividimos por el conjugado .

 

Raíces complejas de la ecuación de segundo grado

Si el discriminante de la ecuación  es negativo, debe sustituirse el signo negativo por  y de esa forma se obtienen las raíces complejas de la ecuación.

 

Ejemplo. Resolver la ecuación .

 

Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática:

 

 

Se puede ver que el discriminante es  lo cual puede escribirse como . Por lo tanto:

 

 

Así, las raíces complejas de la ecuación son:   y .

Ejercicios de la Sección 1.

1)      Dados los números complejos  y , halle:

            (a) , (b) , (c) , (d) , (e) .

2)      Muestre que  es el elemento neutro para la suma de números complejos.

3)      Muestre que  es el elemento neutro para la multiplicación de números complejos.

4)      Calcule:

            (a) ,   (b) ,   (c) ,   (d)  ,   (e) .

5)      Calcule:

            (a) ,   (b) ,   (c) ,   (d) .

6)      Dado el número complejo  halle el par  tal que . Al par se le llama inverso multiplicativo de . Concluya que el par  es único y que el  no tiene inverso multiplicativo.

7)      Verifique que  .

8)      Verifique que  y  son conjugados.

9)      Calcule:

            (a) , (b) .

10)  Resuelva la ecuación .

11)  Halle  tal que .

12)  Calcule y represente en el plano complejo los números , tales que:

            (a) , (b) .

13)  Calcule y represente en el plano complejo los números  tales que:

            (a) , (b) , (c) .

14)  Resuelva la ecuación cuadrática .

15)  Resuelva la ecuación cuadrática .

16)  Resuelva la ecuación cuadrática .

17)  Resuelva la ecuación .

Sección 2

Forma trigonométrica o polar de un número complejo

La forma trigonométrica de un número complejo se establece observando el triángulo amarillo de la Figura 3:

 

 

Gráfica 3: Forma trigonométrica de un número complejo.

 

En este caso se tiene que  y que .

 

Luego:

 

Por lo tanto:

 

 

 

Ésta es la llamada forma trigonométrica o polar del número complejo, la cual está en términos del módulo y el argumento. Se denota comúnmente por .

 

Ejemplo: Halle la forma trigonométrica de   .

 

Hallemos  y  .

 

Note que  está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto:

 

.

Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica

Sean  y , entonces . En otros términos:

 

 

Demostración:

 

 

Por lo tanto, la multiplicación de dos números complejos en su forma trigonométrica da como resultado un número complejo cuyo módulo es igual al producto de sus módulos y cuyo argumento es igual a la suma de los argumentos.

 

Ejemplo.  Sea  y .

 

Entonces

 

Fórmula de Moivre

 

Empleando el resultado del Ejercicio 3b de esta sección, , y tomando  , tenemos:

 

.

 

Esta expresión es la llamada fórmula de Moivre.

 

Forma exponencial de un número complejo

 

Vamos a asumir que se siguen cumpliendo, como en los números reales, los conceptos de función, derivadas, series, etc. Vamos a demostrar la fórmula de Euler:

 

.

 

Empleemos el desarrollo en serie de potencias  de la función , suponiendo que sea válido para cuando la variable  es un número complejo .

 

 

Si tomamos ,  nos queda:

 

 

Agrupando tendremos:

 

 

Estos son los desarrollos de  y  respectivamente. Así que .

 

 

Sea  un número complejo donde  es su módulo y  su argumento. Entonces mediante el empleo de la fórmula de Euler se obtiene:

 

.

 

Esta expresión es la llamada forma exponencial del número complejo. Note que la forma exponencial es equivalente a la trigonométrica pues dependen de los mismos elementos: módulo y argumento del número complejo . Esta forma es muy cómoda pues podemos efectuar la multiplicación, división y potenciación empleando las leyes del álgebra.

 

 

Multiplicación y división de números complejos en su forma exponencial

Sean  y . Entonces:

 

 

 

Ejemplo: Sea    y . Entonces  y  .

 

Ejercicios de la Sección 2.

1)      Represente:

            (a) en la forma trigonométrica el número complejo .

            (b) en la forma binómica el número complejo .

2)      Represente:

            (a) en la forma trigonométrica el número complejo .

            (b) en la forma binómica el número complejo .

3)      Multiplicando el mismo número complejo n veces, efectúe y emplee identidades trigonométricas para comprobar que si

 

            ,

           

            , …,

           

 

            entonces

 

            (a) 

            (b)

            (c)  .

 

            Extienda el resultado a las potencias enteras negativas.

4)      Calcule:

            (a) , (b)

5)      Dados  y  , emplee la forma exponencial para hallar:

            (a) , (b) .

6)      Dados  y  , emplee la forma exponencial para hallar:

            (a) , (b) .

7)      Halle   .

8)      Halle  

 

Sección 3

 

Raíces n-ésimas de un número complejo

 

En la forma binómica de un número complejo la representación es única, mientras que en la forma trigonométrica o exponencial un mismo número complejo tiene infinitas representaciones diferentes,  con . Para cada valor de  habrá una representación diferente del número complejo .

 

Definamos la radicación como la operación inversa de la potenciación, esto es:

 

.

 

Supóngase que  es un número complejo de módulo  y  argumento  y que  un número complejo de módulo  y argumento . Entonces  equivale a:

 

.

 

De esta manera:

 

(1)

 

(2)

 

Por lo tanto,  donde  y , con .

 

Estas son las fórmulas para hallar las  raíces n-ésimas de cualquier número complejo. Compruebe que para todo otro valor de , con , se obtienen las mismas  raíces que para .

 

Ejemplo.  Hallar .

 

. Por lo tanto  y  , con . Entonces:

 

 Para , tenemos .

 

Para , tenemos .

 

El logaritmo de un número complejo

Al igual que para los reales, vamos a definir el logaritmo de un número complejo como la operación inversa de la exponencial, esto es:

 

.

Supóngase que  es un número complejo de módulo  y argumento , entonces:

 

.

 

Ejemplo. Sea  . Por tanto , con  .

Ejercicios de la Sección 3

1)      Halle las raíces cuadradas de  y verifique que son  y .

2)      Halle las raíces cúbicas de 1.

3)      Halle las raíces cúbicas de .

4)      Halle las raíces cuadradas del número  i  y expréselas en la forma binómica.

5)      Halle las raíces cúbicas del número  y expréselas en la forma binómica.

6)      Halle las raíces cuadradas de  y represéntelas en el plano complejo.

7)      Muestre que .

8)      Halle:

(a) , (b) , (c) .

9)      Muestre que .

Respuestas

Sección 1

1) a) , b) , c) , d) , e)

6)

9)  a)

11)

13)  a) , círculo de radio 5 centrado en  y su interior.

15)  

17) 

 

Sección 2

 

1 a)

5)   a) 2, b)

7)

 

Sección 3

3)

5)

8)  a) , c)

 

 

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